Linéarité des primitives

Propriété

Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\), et \(k\) un nombre réel.
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) et \(G\) une primitive de \(g\) sur \(I\), alors :

• \(F+G\) est une primitive de \(f+g\) sur \(I\) ;
• \(k\times F\) est une primitive de \(k \times f\) sur \(I\).

Exemples

1. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\color{blue}{x^2}+\color{green}{\cos(x)}\).
Une primitive de la fonction \(x \mapsto \color{blue}{x^2}\) sur \(\mathbb{R}\) est \(x \mapsto \color{blue}{\dfrac13x^3}\).
Une primitive de la fonction \(x \mapsto \color{green}{\cos(x)}\) sur \(\mathbb{R}\) est \(x \mapsto \color{green}{-\sin x}\).
Alors, par somme, une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est la fonction \(x \mapsto \color{blue}{\dfrac13x^3}+\left(\color{green}{-\sin(x)}\right)\), soit \(x \mapsto\dfrac13x^3-\sin(x)\).

2. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(g(x)=\color{red}{5}\color{purple}{x^3}\).
Une primitive sur \(\mathbb R\) de la fonction \(x\mapsto \color{purple}{x^3}\) est \(x\mapsto \color{purple}{\dfrac14x^4}\).
Alors, par produit par une constante, une primitive de \(g\) sur \(\mathbb R\) est la fonction \(x\mapsto \color{red}{5}\times \color{purple}{\dfrac14x^4}\), soit \(x \mapsto \dfrac54x^4\).